一元二次方程教案
爱习作提供的一元二次方程教案（精选6篇），经过用心整理，希望能对您有所帮助。
一元二次方程教案 篇1
试讲人：XXX
知识点：二元一次方程的概念及一般形式，二次项系数、一次项系数、常数项、判别式、一元二次方程解法
重点、难点：二元一次方程四种解法，直接开平方、配方法、公式法、因式分解法
教学形式：例题演示，加深印象!学完即用，巩固记忆!你问我答，有来有往!
1、自我介绍：30s
大家下午好!我叫XXX，20xx年毕业于暨南大学，学的行政管理，现在教的是初中数学，希望能与大家有一个愉快的下午!
2、一元二次方程概念、系数、根的判别式：8min30s
我们今天的课堂内容是复习一元二次方程。首先请同学们看黑板上的这4个等式，请判断等式是否是一元二次方程，如果是请说出该一元二次方程的二次项系数、一次项系数以及常数项：
(1)x -10x+9=0 是 1 -10 9
(2)x +2=0 是 1 0 2
(3)ax +bx+c=0 不是 a必须不等于0(追问为什么)
(4)3x -5x=3x 不是 整理式子得-5x=0所以为一元一次方程(追问为什么) 好，同学们都回答得非常好!那么我们所说的一元二次方程究竟是什么呢?我们从它的名字可以得出它的定义!
一元：只含一个未知数
二次：含未知数项的最高次数为2
方程：一个等式
一元二次方程的一般形式为：ax +bx+c=0 (a ≠0)其中，a 为二次项系数、b 为一次项系数、c 为常数项。记住，a 一定不为0,b 、c 都有可能等于0，一元二次方程的形式多种多样，所以大家要注意找系数时先将一元二次方程化为一般式! 至于一个一元二次方程有没有根怎么判断，有同学能告诉老师吗?(没有就自己讲)，好非常好!我们知道Δ是等于2-4ac 的，当Δ>0时，方程有2个不相同的实数根;当Δ=0时，方程有两个相同的实数根;当Δ<0时，方程无实根。 那我们在求方程根之前先利用Δ判断一下根的情况，如果小于0，那么就直接判断无解，如果大于等于0，则需要进一步求方程根。
3、一元二次方程的解法：20min
那说到求方程的根我们究竟学了几种求一元二次方程根的方法呢?我知道同学们肯定心里有答案，就让老师为你们一一梳理~
(1)直接开方法
遇到形如x =n的二元一次方程，可以直接使用开方法来求解。若n 0, 则x=±n 。同学们能明白吗?
(2)配方法
大家觉得直接开平方好不好用?简不简单?那大家肯定都想用直接开方法来做题，是吧?当然，中考题简单也不至于这么简单~但是我们可以通过配方法来将方程往完全平方形式变化。配方法我们通过2道例题来巩固一下：
简单的一眼看出来的：x -2x+1=0 (x-1)=0(让同学回答)
需要变换的：2x +4x-8=0
步骤：将二次项系数化为1，左右同除2得：x +2x-4=0
将常数项移到等号右边得：x +2x=4
左右同时加上一次项系数一半的平方得：x +2x+1=4+1
所以有方程为：(x+1)=5 形似 x=n
然后用直接开平方解得x+1=±5 x=±5-1
大家能听懂吗?现在我们一起来做一道练习题，2min 时间，大家一起报个答案给我!
题目：1/2x-5x-1=0 答案：x=±+5
大家都会做吗?还需要讲解详细步骤吗?
(3)讲完了直接开方法、配方法之后我们来讲一个万能的公式法。只要知道abc ，没有公式法求不出来的解，当然啦，除非是无解~
首先，公式法里面的公式大家还记得吗?
x=(-b ±2-4ac )/2a
这个公式是怎么来的呢?有同学知道的吗?就是将一般式配方法得到的x 的表达式，大家记住，会用就可以了，如果有兴趣可以课后试着用配方法进行推导，也欢迎课后找我探讨~这个公式法用起来非常简单，一找数、二代入、三化简。 我们来做一道简单的例题：
3x -2x-4=0
其中a=3，b=-2，c=-4
带入公式得：x=((-(-2))± 2) 2-4*(-4)*3/(2*3)
化简得：x1=(1-)/3 x2=(1+)/3
同学们你们解对了吗?
使用公式法时要注意的点：系数的符号要看准、代入和化简要细心，不要马失前蹄哈~
(4)今天的`第四种解方程的方法叫因式分解法。因式分解大家会吗?好那今天由我来带大家一起见识一下因式分解的魅力!
简单来说，因式分解就是将多项式化为式子的乘积形式。
比如说ab+ab 可以化成ab (1+a)的乘积形式。
那么对于二元一次方程，我们的目标是要将其化成(mx+a)*(nx+b)=0 这样就可以解出x=-a/m x=-b/n
我们一起做一个例题巩固一下：4x +5x+1=0
则可以化成4x +x+4x+1=0 x(4x+1)+(4x+1)=0 (x+1)(4x+1)=0
所以有x=-1 x=-1/4
同学们都能明白吗?就是找出公因式，将多项式化为因式的乘积形式从而求解。 练习题：x -5x+6=0 x=2 x=3
x-9=0 x=3 x=-3
4、总结：1min
好，复习完了二元一次方程我们熟知它的概念。只含有一个未知数且未知数项最高次数为2的等式，叫做二元一次方程。我们还要会找abc 系数，会用Δ=b-4ac 来判别方程实根的情况。还需要熟悉四种方程的解法，这是中考的重点考察内容。当然，具体用哪一种解题方法就需要结合具体的题目来选择了。如果形式简单可以直接用开平方则直接用开平方，否则首选因式分解法，再者选择配方法，最后的底线是公式法~当然每个人的习惯不一样，熟悉的方法也不一样，同学们可以自行选择万无一失的方法，像老师不到万不得已绝对不用公式法，哈哈哈哈~好啦，上完这一个复习课希望大家都能有收获!
一元二次方程教案 篇2
一、教学目标
知识与技能
（1）理解一元二次方程的意义。
（2）能熟练地把一元二次方程整理成一般形式并能指出它的二次项系数，一次项系数及常数项。
过程与方法
在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化成数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
情感、态度与价值观
通过探索建立一元二次方程模型的过程，使学生积极参与数学学习活动，增进对方程的认识，发展分析问题、解决问题的能力。
二、教材分析：教学重点难点
重点：经历建立一元二次方程模型的过程，掌握一元二次方程的一般形式。
难点：准确理解一元二次方程的意义。
三、教学方法
创设情境——主体探究——合作交流——应用提高
四、学案
（1）预学检测
3x-5=0是什么方程？一元一次方程的定义是怎样的？其一般形式是怎样的？
五、教学过程
（一）创设情境、导入新
（1）自学本P2—P3并完成书本
（2）请学生分别回答书本内容再
（二）主体探究、合作交流
（1）观察下列方程：
（35-2x）2=900 4x2-9=0 3y2-5y=7
它们有什么共同点？它们分别含有几个未知数？它们的'左边分别是未知数的几次几项式？
（2）一元二次方程的概念与一般形式？
如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数 a≠0）,其中，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项，如x2-x=56
(三)应用迁移、巩固提高
例1：根据一元二次方程定义，判断下列方程是否为一元二次方程？为什么？
x2-x=1 3x(x-1)=5(x+2) x2=(x-1)2
例2：将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。
解：去括号得
3x2-3x=5x+10
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
学生练习：书本P4练习
（四）总结反思 拓展升华
总结
1.一元二次方程的定义是怎样的？
2.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）,一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。
3.在实际问题转化为一元二次方程数学模型的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。
反思
方程ax3+bx2+cx+d=0是关于x的一元二次方程的条是a=0且b≠0，是一元一次方程的条是a=b=0 且c≠0.
（五）布置作业
（1）必做题P4 习题1.1A组 1.2
（2）选做题：若xm-2=9是关于x的一元二次方程，试求代数式（m2-5m+6）÷（m2-2m）的值。
一元二次方程教案 篇3
教学内容：
本节内容是：
人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册
第22章第2节第1课时。
一、教学目标
（一）知识目标
1、理解求解一元二次方程的实质。
2、掌握解一元二次方程的配方法。
（二）能力目标
1、体会数学的转化思想。
2、能根据配方法解一元二次方程的一般步骤解一元二次方程。
（三）情感态度及价值观
通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们学习数学的兴趣。
二、教学重点
配方法解一元二次方程的一般步骤
三、教学难点
具体用配方法的一般步骤解一元二次方程。
四、知识考点
运用配方法解一元二次方程。
五、教学过程
（一）复习引入
1、复习：
解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。
2、引入：
二次根式的意义：若x2=a (a为非负数），则x叫做a的平方根，即x=±√a 。实际上，x2 =a（a为非负数)就是关于x的一元二次方程，求x的平方根就是解一元二次方程。
（二）新课探究
通过实际问题的解答，引出我们所要学习的知识点。通过问题吸引学生的注
意力，引发学生思考。
问题1：
一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2李林用这桶油漆刚好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
问题1重在引出用直接开平方法解一元二次方程。这一问题学生可通过“平方根的意义”的讲解过程具体的解答出来，
具体解题步骤：2解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6xdm2
列出方程：60x2=1500
x2=25
x=±5
因为x为棱长不能为负值，所以x=5
即：正方体的`棱长为5dm。
1、用直接开平方法解一元二次方程
（1）定义：运用平方根的定义直接开方求出一元二次方程解。
（2）备注：用直接开平方法解一元二次方程，实质是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元二次方程来求方程的根。
问题2：
要使一块矩形场地的长比宽多6cm，并且面积为16㎡，场地的长和宽应各为多少？
问题2重在引出用配方法解一元二次方程。而问题2应该大部分同学都不会，所以由我来具体的讲解。主要通过与完全平方式对比逐步解这个方程。再由这个方程的求解过程师生共同总结出配方法解一元二次方程的一般步骤。让学生加深映像。
具体解题步骤：
解：设场地宽x m，长（x +6）m。
列方程： x（x +6）=16
即： x2+6x-16=0
x2+6x=16
x2+6x+9=16+9
（1）有实根（2）有两正根（3）一正一负
变式题：m为何实数值时，关于x的方程x2?mx?(3?m)?0有两个大于1的根.
例2. 若8x4+8(a－2)x2－a+5>0对于任意实数x均成立，求实数a的取值范围.
例3.关于x的方程ax?2x?1?0至少有一个负根,求实数m的取值范围。
课堂小练习：
【布置作业】
省略
一元二次方程教案 篇4
一、复习目标：
1、能说出一元二次方程及其相关概念，；
2、能熟练应用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。
3、能灵活应用一元二次方程的知识解决相关问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。
二、复习重难点：
重点：一元二次方程的解法和应用.
难点：应用一元二次方程解决实际问题的方法.
三、知识回顾:
1、一元二次方程的定义：
2、一元二次方程的常用解法有：
配方法的一般过程是怎样的？
3、一元二次方程在生活中有哪些应用？请举例说明。
4、利用方程解决实际问题的关键是。
在解决实际问题的过程中，怎样判断求得的.结果是否合理？请举例说明。
四、例题解析：
例1、填空
1、当m时，关于x的方程(m－1)+5+mx=0是一元二次方程.
2、方程(m2－1)x2+(m－1)x+1=0，当m时，是一元二次方程；当m时，是一元一次方程.
3、将一元二次方程x2-2x-2=0化成(x+a)2=b的形式是；此方程的根是.
4、用配方法解方程x2+8x+9=0时，应将方程变形为()
A.(x+4)2=7B.(x+4)2=－9
C.(x+4)2=25D.(x+4)2=－7
学习内容学习随记
例2、解下列一元二次方程
(1)4x2－16x+15=0(用配方法解)(2)9－x2=2x2－6x(用分解因式法解)
(3)(x＋1)(2－x)=1(选择适当的方法解)
例3、1、新竹文具店以16元/支的价格购进一批钢笔，根据市场调查，如果以20元/支的价格销售，每月可以售出200支；而这种钢笔的售价每上涨1元就少卖10支.现在商店店主希望销售该种钢笔月利润为1350元，则该种钢笔该如何涨价？此时店主该进货多少？
2、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？
一元二次方程教案 篇5
教学内容
根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．
教学目标
掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．
重难点关键
1．重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．
2．难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．
教学过程
一、复习引入
1．直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？
2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的`面积公式又是什么？
3．梯形的面积公式是什么？
4．菱形的面积公式是什么？
5．平行四边形的面积公式是什么？
6．圆的面积公式是什么？
二、探索新知
现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．
例1．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．
解：（1）设渠深为xm
则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m
依题意，得： （x+2+x+0.4）x=1.6
整理，得：5x2+6x-8=0
解得：x1= =0.8m，x2=-2（舍）
∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．
（2） =25天
答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．
例2．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？
老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．
一元二次方程教案 篇6
1、关于x的方程ax2+bx+c=0，当a_____时，方程为一元一次方程；当 a_____时，方程为一元二次方程。
2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=_______，当△_______时，方程有两个相等的实数根，当△_______时，方程有两个不相等的实数根，当△________时，方程没有实数根。
例1 下列方程中两实数根之和为2的方程是（）
(A) x2+2x+3＝0 (B) x2-2x+3＝0 (c) x2-2x-3＝0 (D) x2+2x+3＝0
错答： B
正解：C
错因剖析：由根与系数的关系得x1+x2＝2，极易误选B，又考虑到方程有实数根，故由△可知，方程B无实数根，方程C合适。
例2 若关于x的方程x2+2(k+2)x+k2＝0 两个实数根之和大于-4，则k的取值范围是（ ）
(A) k＞-1 (B) k＜0 (c) -1＜ k＜0 (D) -1≤k＜0
错解 ：B
正解：D
错因剖析：漏掉了方程有实数根的前提是△≥0
例3（20xx广西中考题） 已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2x-1＝0有两个不相等的实根，求k的取值范围。
错解: 由△＝(-2)2-4(1-2k)(-1) ＝-4k+8＞0得 k＜2又∵k+1≥0∴k≥ -1。即 k的取值范
围是 -1≤k＜2
错因剖析：漏掉了二次项系数1-2k≠0这个前提。事实上，当1-2k＝0即k＝时，原方程变为一次方程，不可能有两个实根。
正解： -1≤k＜2且k≠
例4 （20xx山东太原中考题） 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1＝0的两个实数根，当x12+x22=15时，求m的值。
错解：由根与系数的关系得
x1+x2＝ -（2m+1）， x1x2＝m2+1，
∵x12+x22＝(x1+x2)2-2 x1x2
＝[-（2m+1）]2-2（m2+1）
＝2 m2+4 m-1
又∵ x12+x22=15
∴ 2 m2+4 m-1=15
∴ m1 ＝ -4 m2 ＝ 2
错因剖析：漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式△≥0。因为当m ＝ -4时，方程为x2-7x+17＝0，此时△＝（-7）2-4×17×1＝ -19＜0，方程无实数根，不符合题意。
正解：m ＝ 2
例5 若关于 x的方程(m2-1)x2-2 (m+2)x+1＝0有实数根，求m的取值范围。
错解：△＝[-2(m+2)]2-4(m2-1) ＝16 m+20
∵ △≥0
∴ 16 m+20≥0，
∴ m≥ -5/4
又 ∵ m2-1≠0，
∴ m≠±1
∴ m的取值范围是m≠±1且m≥ -
错因剖析：此题只说(m2-1)x2-2 (m+2)x+1＝0是关于未知数x的方程，而未限定方程的次数，所以在解题时就必须考虑m2-1＝0和m2-1≠0两种情况。当m2-1＝0时，即m＝±1时，方程变为一元一次方程，仍有实数根。
正解：m的取值范围是m≥-
例6 已知二次方程x2+3 x+a＝0有整数根，a是非负数，求方程的整数根。
错解：∵方程有整数根，
∴△＝9-4a＞0，则a＜2。25
又∵a是非负数，∴a＝1或a＝2
令a＝1，则x＝ -3±，舍去；令a＝2，则x1＝ -1、 x2＝ -2
∴方程的整数根是x1＝ -1， x2＝ -2
错因剖析：概念模糊。非负整数应包括零和正整数。上面答案仅是一部分，当a＝0时，还可以求出方程的另两个整数根，x3＝0， x4＝ -3
正解：方程的整数根是x1＝ -1， x2＝ -2 ， x3＝0， x4＝ -3
练习1、（01济南中考题）已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的.实数根x1、x2。（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由。
解：（1）根据题意，得△＝(2k-1)2-4 k2＞0 解得k＜
∴当k＜时，方程有两个不相等的实数根。
（2）存在。如果方程的两实数根x1、x2互为相反数，则x1+ x2=-=0，
解得k＝。经检验k＝是方程-的解。
∴当k＝时，方程的两实数根x1、x2互为相反数。
读了上面的解题过程，请判断是否有错误？如果有，请指出错误之处，并直接写出正确答案。
解：上面解法错在如下两个方面：
（1）漏掉k≠0，正确答案为：当k＜时且k≠0时，方程有两个不相等的实数根。
（2）k＝。不满足△＞0，正确答案为：不存在实数k，使方程的两实数根互为相反数
练习2（02广州市）当a取什么值时，关于未知数x的方程ax2+4x-1＝0只有正实数根 ?
解：（1）当a＝0时，方程为4x-1＝0，∴x＝
（2）当a≠0时，∵△＝16+4a≥0 ∴a≥ -4
∴当a≥ -4且a≠0时，方程有实数根。
又因为方程只有正实数根，设为x1，x2，则：
x1+x2＝-＞0 ；
x1。 x2＝-＞0 解得 ：a＜0
综上所述，当a＝0、a≥ -4、a＜0时，即当-4≤a≤0时，原方程只有正实数根。
以上数例，说明我们在求解有关二次方程的问题时，往往急于寻求结论而忽视了实数根的存在与“△”之间的关系。
1、运用根的判别式时，若二次项系数为字母，要注意字母不为零的条件。
2、运用根与系数关系时，△≥0是前提条件。
3、条件多面时（如例5、例6）考虑要周全。
1、当m为何值时，关于x的方程x2+2（m-1）x+ m2-9＝0有两个正根？
2、已知，关于x的方程mx2-2（m+2）x+ m+5＝0（m≠0）没有实数根。求证：关于x的方程
（m-5）x2-2（m+2）x + m＝0一定有一个或两个实数根。
考题汇编
1、（20xx年广东省中考题）设x1、 x2是方程x2-5x+3＝0的两个根，不解方程，利用根与系数的关系，求（x1-x2）2的值。
2、（20xx年广东省中考题）已知关于x的方程x2-2x+m-1＝0
（1）若方程的一个根为1，求m的值。
（2）m＝5时，原方程是否有实数根，如果有，求出它的实数根；如果没有，请说明理由。
3、（20xx年广东省中考题）已知关于x的方程x2+2（m-2）x+ m2＝0有两个实数根，且两根的平方和比两根的积大33，求m的值。
4、（20xx年广东省中考题）已知x1、x2为方程x2+px+q＝0的两个根，且x1+x2＝6，x12+x22＝20，求p和q的值。
课题：一元二次方程实数根错例剖析课
精选学生在解一元二次方程有关问题时出现的典型错例加以剖析，帮助学生找出产生错误的原因和纠正错误的方法，使学生在解题时少犯错误，从而培养学生思维的批判性和深刻性。
1、关于x的方程ax2+bx+c=0，当a_____时，方程为一元一次方程；当 a_____时，方程为一元二次方程。
2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=_______，当△_______时，方程有两个相等的实数根，当△_______时，方程有两个不相等的实数根，当△________时，方程没有实数根。
例1 下列方程中两实数根之和为2的方程是（）
(A) x2+2x+3＝0 (B) x2-2x+3＝0 (c) x2-2x-3＝0 (D) x2+2x+3＝0
错答： B
正解：C
错因剖析：由根与系数的关系得x1+x2＝2，极易误选B，又考虑到方程有实数根，故由△可知，方程B无实数根，方程C合适。
例2 若关于x的方程x2+2(k+2)x+k2＝0 两个实数根之和大于-4，则k的取值范围是（ ）
(A) k＞-1 (B) k＜0 (c) -1＜ k＜0 (D) -1≤k＜0
错解 ：B
正解：D
错因剖析：漏掉了方程有实数根的前提是△≥0
例3（20xx广西中考题） 已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2x-1＝0有两个不相等的实根，求k的取值范围。
错解: 由△＝(-2)2-4(1-2k)(-1) ＝-4k+8＞0得 k＜2又∵k+1≥0∴k≥ -1。即 k的取值范
围是 -1≤k＜2
错因剖析：漏掉了二次项系数1-2k≠0这个前提。事实上，当1-2k＝0即k＝时，原方程变为一次方程，不可能有两个实根。
正解： -1≤k＜2且k≠
例4 （20xx山东太原中考题） 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1＝0的两个实数根，当x12+x22=15时，求m的值。
错解：由根与系数的关系得
x1+x2＝ -（2m+1）， x1x2＝m2+1，
∵x12+x22＝(x1+x2)2-2 x1x2
＝[-（2m+1）]2-2（m2+1）
＝2 m2+4 m-1
又∵ x12+x22=15
∴ 2 m2+4 m-1=15
∴ m1 ＝ -4 m2 ＝ 2
错因剖析：漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式△≥0。因为当m ＝ -4时，方程为x2-7x+17＝0，此时△＝（-7）2-4×17×1＝ -19＜0，方程无实数根，不符合题意。
正解：m ＝ 2
例5 若关于 x的方程(m2-1)x2-2 (m+2)x+1＝0有实数根，求m的取值范围。
错解：△＝[-2(m+2)]2-4(m2-1) ＝16 m+20
∵ △≥0
∴ 16 m+20≥0，
∴ m≥ -5/4
又 ∵ m2-1≠0，
∴ m≠±1
∴ m的取值范围是m≠±1且m≥ -
错因剖析：此题只说(m2-1)x2-2 (m+2)x+1＝0是关于未知数x的方程，而未限定方程的次数，所以在解题时就必须考虑m2-1＝0和m2-1≠0两种情况。当m2-1＝0时，即m＝±1时，方程变为一元一次方程，仍有实数根。
正解：m的取值范围是m≥-
例6 已知二次方程x2+3 x+a＝0有整数根，a是非负数，求方程的整数根。
错解：∵方程有整数根，
∴△＝9-4a＞0，则a＜2。25
又∵a是非负数，∴a＝1或a＝2
令a＝1，则x＝ -3±，舍去；令a＝2，则x1＝ -1、 x2＝ -2
∴方程的整数根是x1＝ -1， x2＝ -2
错因剖析：概念模糊。非负整数应包括零和正整数。上面答案仅是一部分，当a＝0时，还可以求出方程的另两个整数根，x3＝0， x4＝ -3
正解：方程的整数根是x1＝ -1， x2＝ -2 ， x3＝0， x4＝ -3
练习1、（01济南中考题）已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1、x2。（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由。
解：（1）根据题意，得△＝(2k-1)2-4 k2＞0 解得k＜
∴当k＜时，方程有两个不相等的实数根。
（2）存在。如果方程的两实数根x1、x2互为相反数，则x1+ x2=-=0，
解得k＝。经检验k＝是方程-的解。
∴当k＝时，方程的两实数根x1、x2互为相反数。
读了上面的解题过程，请判断是否有错误？如果有，请指出错误之处，并直接写出正确答案。
解：上面解法错在如下两个方面：
（1）漏掉k≠0，正确答案为：当k＜时且k≠0时，方程有两个不相等的实数根。
（2）k＝。不满足△＞0，正确答案为：不存在实数k，使方程的两实数根互为相反数
练习2（02广州市）当a取什么值时，关于未知数x的方程ax2+4x-1＝0只有正实数根 ?
解：（1）当a＝0时，方程为4x-1＝0，∴x＝
（2）当a≠0时，∵△＝16+4a≥0 ∴a≥ -4
∴当a≥ -4且a≠0时，方程有实数根。
又因为方程只有正实数根，设为x1，x2，则：
x1+x2＝-＞0 ；
x1。 x2＝-＞0 解得 ：a＜0
综上所述，当a＝0、a≥ -4、a＜0时，即当-4≤a≤0时，原方程只有正实数根。
以上数例，说明我们在求解有关二次方程的问题时，往往急于寻求结论而忽视了实数根的存在与“△”之间的关系。
1、运用根的判别式时，若二次项系数为字母，要注意字母不为零的条件。
2、运用根与系数关系时，△≥0是前提条件。
3、条件多面时（如例5、例6）考虑要周全。
1、当m为何值时，关于x的方程x2+2（m-1）x+ m2-9＝0有两个正根？
2、已知，关于x的方程mx2-2（m+2）x+ m+5＝0（m≠0）没有实数根。求证：关于x的方程
（m-5）x2-2（m+2）x + m＝0一定有一个或两个实数根。
考题汇编
1、（20xx年广东省中考题）设x1、 x2是方程x2-5x+3＝0的两个根，不解方程，利用根与系数的关系，求（x1-x2）2的值。
2、（20xx年广东省中考题）已知关于x的方程x2-2x+m-1＝0
（1）若方程的一个根为1，求m的值。
（2）m＝5时，原方程是否有实数根，如果有，求出它的实数根；如果没有，请说明理由。
3、（20xx年广东省中考题）已知关于x的方程x2+2（m-2）x+ m2＝0有两个实数根，且两根的平方和比两根的积大33，求m的值。
4、（20xx年广东省中考题）已知x1、x2为方程x2+px+q＝0的两个根，且x1+x2＝6，x12+x22＝20，求p和q的值。